第735章 宇宙 (第2/2页)

最开始的第一天只有无中生有的0，第二天创造了1，-1，第三天创造了2，-2，1\/2，-1\/2。

很好，这样就把第三天的规则弄明白了。

『令负数之集为原数另集之负数所成，令减去一数等于加其负数。』

『康威证得，减法为加法之逆。夜去昼来，是为第四日。』

“加法之后是减法，减去一数就是加上负数，这个简单。”

阿基里斯看着海滩上的数轴，上面的数字在她的指尖下一个个诞生。

它们按照被创造出来的时间和大小有序排列，看起来就和普通的实数轴没什么太大区别。

“1-1，1=({0}丨?)，-1=(?丨{0})。”

“两者相加，得到的新数是…咦？”

阿基里斯突然眨了眨眼睛，粉色的瞳孔中闪过一丝惊奇的色彩。

她一直以为这种新的规则只是在实数的基础上增加了无限大数和无穷小数。

但她这时却发现，只是涉及到减法的时候，好像就有一些与常识中不太一样的地方出现了。

在普通的标准分析中，1-1=0是毫无疑问的正确结论，一个数减去其自身当然就是等于0。

按照这种新的定义规则，1-1得到的数({-1}丨{1})。

但0却被定义为(?丨?)。

在这种全新的定义规则下，一个数减去自身的结果不是严格等于0。

一手撑着下巴仔仔细细地重新回顾了一遍石碑上的雕文，阿基里斯若有所思地道：

“原来如此，这上面写的不是不是小于等于，而是小于或相似于。”

“在标准分析的数学中，x≤y且y≤x，就能推出x=y，两个数是严格的相等。”

“但在这种新的规则下，这个前提却并不能得到同样的结论。”

“这样的话，除了0以外，一个数减去自身并不等于0，不能用＝符号，只能用这个『≡』相似于的符号。”

她发现自己似乎想的有些太简单了，以为这种新的定义规则只是为了应对无限大数。

虽然引入这一规则主要目的就是为了能定义那些涉及到实无限的数，但全新的基本规则显然也会改变原来常识中的有限数。

比如这个在实数范围内并没有的所谓相似于“≡”的性质。

阿基里斯一直想着用这种新的规则去创造熟悉的数，整数、分数等等。

她却忘了这种规则下的数与自己过往常识中认知的数根本不是一回事。

回头重新看去，许多被她下意识忽略掉的新数也都不一样了。

比如({-1}丨?)和(?丨{1})这两个数，它们同样出现在第三日，在1和-1被创造出来之后诞生。

根据石头上的规则，这两个数均满足x≤0且0≤x，但定义它们的数集却与0不一样。

类似的，还有({－1\/2}丨?)，({-2}丨?)等等数也都能满足这个条件。

更准确的说法应该是相似于，用符号≡表示。

0只有唯一的一个，但相似于0的数却有无限多个。

不过目前看起来这种差别也并不太大。

至于({0}丨{0})，它不满足康威的第一条规则“左集中没有一个元素大于或等于右集中的元素”，所以它不是一个数。

目光聚焦在第一条规则上，阿基里斯突发奇想地道：

“如果不遵循第一条定义数的规则，比如创造一个({1}，{0})，这东西又会有些什么样的性质？”

这肯定不是一个数，它左集中的元素比右集中的元素还要大，在数轴上根本不可能找到它。

但它又可以与其他的数比大小。

根据第二条规则，甲数小于或等于乙数，当且仅当甲数之左集中无一大于或等于乙数，且乙数之右集中无一小于或等于甲数。

将({1}，{0})与其他的数比较，比如2=({1}丨?)。

甲数的左集最大元素是1，小于乙数2，乙数2的右集是?，不小于或等于甲数。

于是就能得到({1}，{0})＜2的结论。

明明是在数轴上完全找不到的数，却能与普通的数比较大小。

这种数未必就完全没有意义了。

它和常规的数的关系可能就像是负数和正数、无理数和有理数、虚数和实数的关系一样。

负数看起来没有什么对应之物，无理数这种不成比例的量完全只是想象，虚数更是完全不符合常识。

但这些纯粹存在于想象中的概念，说不定就能在哪个地方用上。

仔仔细细看了一遍石头上的规则，阿基里斯转头看向不远处的烧烤架问道：

“根据石头上的这些规则，我似乎无法创造出1\/3这样的分数？”

既然这种全新的公理规则是实数域的扩张，那应该包含了所有的实数才对。

第一天是0，第二天是±1，第三天是±1\/2，±2，第四天是1\/4，3\/4，3\/2，3以及各自的负数。

到了第n天，总共创造出了2^n-1个数。

用这种规则创造分数的方式就好像是芝诺的二分法一样，用新出现的数作为刀刃去切割数轴，得到更多的数。

“只是二进制和十进制的区别罢了。”

李恒将烤架上仅剩下了一条触手的小生物扔给了蹲在石头前面的阿基里斯。

“康威创造数的方式就像芝诺的二分法，使用的其实是二进制，当然只会出现1\/2、1\/4、1\/8这样的分数。”

“但这种区别仅在有限的世界有用。”

“你现在创造的二进制数，都只是数位有限的二进制数。”

“想一想1\/3的二进制表示，再想一想0.99…，你觉得这些尚未出现的分数会在哪一天出现？”

1\/3的二进制表示？

阿基里斯一手接过那条香喷喷的触须，张嘴咬了一口，另一只手的指尖在脚下的沙滩上划过。

1\/3=0.0…，这是一个无限循环小数。

“无穷？实无穷？”

是了，第n天创造出了第2^n-1个数字，那么如果n取?0，最终就创造出了2^?0个数。

这些尚未出现的十进制分数会在那一日与实数中的那些不可定义数一同诞生。

也是在这一刻，阿基里斯发现石头上显现出了新的雕文。

『万数创生，无穷日逝，而宇宙现形。夜去昼来，是为第?日。』

在第?日，康威创造出了全体实数，一个不可数无限的庞大数字宇宙。