第733章 追不上的乌龟 (第1/2页)

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连续统的基数不是阿列夫一。

阿基里斯回忆着之前那张纸上列举着超图灵机力量层次的图灵度层级，表情疑惑地问道：

“可是，之前在那张图表上，你不是在无限时间图灵机的下方划了一条线，并且写下了实数连续统吗？”

在那张图灵度层级的图表上，所有的超图灵机都属于可数无限的层次，唯有最末尾的实数连续统是不可数无限。

这样看来，康托尔的连续统假设在这个世界里应该是成立的。

自然数集合的幂集，全体实数构成的集合，全体可数序数构成的集合，三者的基数都是不可数无限?1。

“不，等等，我好像明白了！”

阿基里斯看了眼自己脑袋上顶着的那个日光圆环散发的白光，突然反应了过来。

“你在那张纸上写的是实数连续统，而不是连续统。”

“你的意思是说，在这个世界里，即使是所有的实数，依然无法填满整条数轴？”

李恒点点头道：

“不错。”

“其实这也不难想到，第二次数学危机就是实无限和潜无限的混乱带来的危机——更准确的说，是无穷小量和0之间的矛盾。”

“莱布尼茨就在自己的微积分中使用了实无穷小，这也是贝克莱主教攻击微积分理论基础的主要方向。”

“从本体论上看，莱布尼茨将无穷小量看作是万物由此组成的不可再分的最小的原子，它是绝对值小于任何实数的实无穷小。”

“柯西和魏尔斯特拉斯的极限概念，戴德金分割用有理数对连续的直线进行切割，康托尔用有理数序列表示十进制无限小数的方法，这三者彼此都是等价的。”

“它们都定义了一个稠密、连续、完备的实数模型。”

“但是，以上这些理论都只属于标准分析的范围。”

“有标准分析，自然就有非标准分析。”

就像既有局限于平面上的欧氏几何，也有扩展到高维空间的非欧几何一样。

在欧氏几何中成立的结论，在非欧几何中却不一定成立。

两者并非是简单的谁对谁错的问题。

作为一切推理证明前提的公理都改变了，后续得到的定理和结论自然就会完全不同。

欧氏几何中不证自明的平行公理不再是整个理论的基础，它只是非欧几何中一种特殊的情况。

这种集合论公理的增加与删改并非随意而为的。

如无必要，勿增实体。

最好的集合论公理系统就是能以最少的公理得到最多的结论。

如果能从定义自然数的皮亚诺公理出发解决一切问题，自然就用不着多此一举地去改动最基础的公理。

但因为哥德尔不完备定理，一切数学体系都存在自身内部不能证明的命题。

在这种情况下，为了能研究这些不可证的问题，只能增加更多的公理，将系统扩张为更大的体系。

非标准分析继承了莱布尼茨的想法，将实无限的思想从有限大的无理数扩展到那些真正无限的数。

任何科学理论都有它的研究对象，这些对象构成一个不空的集合，称为论域。

『紧挨着1的下一个数是什么？』

这个问题放在十进制自然数的范围内，答案是2。

放在二进制自然数的范围内，答案是10。

但扩展到有理数的范围内，思想有限的人类就无法找到紧挨着1的下一个数。

显而易见的，同一个问题的答案会因为研究范围的不同而发生改变。

在此之前，李恒和阿基里斯讨论的一切都在标准分析规定的实数范围内。

实数域是最大的阿基米德有序域，具备阿基米德性质。

在数轴上截取任意小的一段a，以及任意大的一段b，总能找到一个自然数n，使n条线段a的长度相加大于线段b。

实数域的定义域是(－∞，＋∞)，它表明实数轴的两端无限延伸，是一个潜无限的区间。

在实数域中，并不包括实无穷大和实无穷小。

非标准分析则是实数域R的扩展，引入了无穷小数和无穷大数。

在非标准分析定义的数轴上，可以截取出一段长度为实无穷小的线段。

这条线段的长度小于任何给定的实数，因而也就不再具备阿基米德性质。

标准分析中的实数是Real number。

非标准分析定义的数集被称为超实数集，hyperreal number。

这是一个比实数集更大的集合，将实数作为它的子集。

李恒伸手从阿基里斯的头上摘下那个完美的圆环，毫不费力地就把这个容纳着不可数无限力量的圆扯断、拉直，做成了一条散发着白光的数轴。

这一幕看得阿基里斯心中一跳，原来这玩意就是用她之前见过的那条数轴做出来的。

不，现在的话，应该把这条数轴称作是实数轴更合适。

她所在的这个世界显然并不仅仅局限于标准分析定义的实数集的范围。

即使是数量达到?1的全体实数，依旧无法构成一条完美无缺，没有空隙的数轴。

“回顾我们之前对芝诺悖论的解决方式。”

“长跑健将阿基里斯从数轴上的0点位置出发，第一步走出0.9，第二步走出0.09，如此无限累加，最终走出了无限步。”

“在经过无限次迈步之后，她从0走到了1，追上了芝诺那只恼人的乌龟。”

“0.999…=1，两者是标准分析中定义的同一个实数的不同写法。”

“但是，如果并不局限于实数域的范围，将这条数轴上分布的数扩大到超实数域…”

说到此处，李恒的目光投向阿基里斯肩膀上贴着的便签。

在“一一对应、基数”，“有序排列、序数”，“排中律”三张纸条以外，还有最后才贴上去的一张纸条。

“戴德金分割？”

阿基里斯顺着他的目光歪了歪头，看着自己肩膀上的这张纸条若有所思。

原来如此。

写着排中律的纸条对应的是第三次数学危机后诞生的哥德尔不完备定理和停机问题，以及超图灵机的力量层级。

从有限到可数无限，再到不可知不可论的不可数无限。

但这一切都局限于实数的范围以内。

第四张便签上的内容才是他们研究连续统需要面对的最后一个问题。

所有的实数真的构成了一条无缝的数轴吗？

对有限的凡人而言，这个问题不会有什么可验证的结果。

如果全体实数依旧无法填满数轴，那就表明连续统的基数比不可数无限?1还要大，至少是?2或者更大。

但实数集就已经是不可知不可论的存在，更别说是比它还大的集合。

“戴德金分割…”

阿基里斯对着面前白色的数轴比划着自己的手掌，做出一个像是切蛋糕的手势。

所谓戴德金分割，是用有理数作为刀刃去切割一条连续无缝的实直线，把实数集切割成左右两个互斥的集合。

当切割出的左集中没有最大元素，右集中也没有最小元素，那就代表砍中了数轴上有理数之间的空隙。

这种空隙是一块非0的无穷小区域。